Речь идет о глаголах, которые выражают субъективное отношение к ситуации, например я могу что-то сделать, я хочу что-то сделать и т.д. Они спрягаются необычным образом. Вот эти глаголы:

können – мочь, уметь
wissen – знать
müssen – быть должным
sollen – быть должным
mögen – любить
möchten – хотеть бы (производное от глагола mögen, в значении „Я хотел бы…“)
wollen – хотеть
dürfen – разрешать (в значении „мне разрешено…“)

Модальные глаголы в немецком спрягаются следующим образом:

können

ichkannwirkönnen
dukannstihrkönnt
er/sie/eskannSie/siekönnen

Собственно, вся особенность заключается в первом столбце. Здесь können превращается kann и kannst. Во втором столбце глагол получает уже известные нам окончания, нет ничего нового. Помимо этого, формы ich и er совпадают. Поэтому для остальных модальных глаголов я приведу только первый столбец:

wollenwissendürfenmögenmöchtensollenmüssen
ichwillweissdarfmagmöchtesollmuss
duwillstweisstdarfstmagstmöchtestsollstmusst
er/sie/eswillweissdarfmagmöchtesollmuss

Теперь внесем эти глаголы в наш разговор и подробно разберем их значения.

können — мочь, уметь (общее значение). С помощью können можно выразить:
способность: Ich kann schwimmen. — Я могу плавать.
возможность: Hier kann man schwimmen. — Здесь можно купаться.
разрешение: Du kannst heute Nacht bei uns bleiben. — Ты можешь остаться у нас сегодня на ночь.
вежливый вопрос: Kann ich Ihnen helfen? — Могу я Вам помочь?

dürfen — иметь разрешение сделать что-то. Также dürfen имеет следующие значения:
разрешение: Sie dürfen gern hereinkommen. — Вы можете войти.
иметь право: Mit 18 Jahren darf man in Deutschland wählen. — В Германии люди, достигшие 18-ти лет, имеют право голосовать.
вежливый вопрос: Darf ich Sie etwas Persönliches fragen? — Могу я спросить у Вас кое-что личное?
моральное: Man darf nicht zu alten Leuten unhöflich sein. — Нельзя быть невежливыми с пожилыми людьми.

Какова разница между dürfen и können в вежливых вопросах? Dürfen – это более вежливая форма, können – более неформальная.

müssen — быть должным (субъективное чувство или намерение). С помощью müssen можно выразить:
чувство долга: Ich muss für die Prüfung lernen. — Я должен заниматься для экзамена.
моральное: Man muss alten Leuten helfen. — Нужно помогать пожилым людям.
долг перед законом: Bei einer roten Ampel muss man warten. — Если светофор горит красным, нужно ждать.

sollen — быть должным (объективное чувство, то есть кто-то другой сказал, что должен). Этим словом можно выразить:
объективный долг: Der Lehrer hat gesagt, ich soll nach dem Unterricht bleiben. — Учитель сказал, что я должен остаться после урока.
рекомендацию: Du bist erkältet, du sollst lieber zu Hause bleiben. —  Ты простужен, тебе лучше остаться дома.
прямой приказ: Sie sollen aufstehen! — Вы должны встать!
вопрос-предложение: Soll ich das Licht ausmachen? — Мне выключить свет? Soll ich dir helfen? — Мне помочь тебе?

müssen vs. sollen

Оба слова обозначают «быть должным», но значение несколько отличается для обоих слов.

Was denkst du? Soll ich heute tanzen gehen? — Думаешь, мне пойти сегодня на танцы?
Очень типичный немецкий ответ:
Du kannst es gerne machen, aber du musst nicht. — Ты можешь это сделать (если хочешь), но ты не обязан (не должен).

müssen – ты сам решил, что тебе это нужно сделать, это твоя воля.
sollen – кто-то сказал тебе, что ты это должен сделать – не твоя воля.

wollen — хотеть, желать, планировать
Wir wollen Deutsch lernen. — Мы хотим учить немецкий.
Wo wollt ihr Deutsch lernen? — Где вы хотите/планируете учить немецкий?

möchten — хотел бы. Более вежливая форма, чем wollen.
Möchten Sie auch etwas essen? — Дословно: Вы бы хотели также и что-то поесть?
Was möchten Sie?  — Чего бы Вы хотели? (так спрашивает официант в ресторане)
Ich möchte nur trinken. — Я бы хотел только выпить.

mögen — любить, нравиться. Это слово имеет следующие значения:
любить: Ich mag gern Eis. — Я люблю мороженое. Ich mag nicht alleine zu Hause sein. — Я не люблю быть один дома.
вежливый вопрос «не мог бы ты»: Magst du diesen Text vorlesen? — Не мог бы ты прочитать этот текст вслух?

wissen — знать
Er weiss das.  — Он знает это.
Weiss du, wann der Zug abfährt? — Ты знаешь, когда отправляется поезд?
Ich weiss es nicht. — Я не знаю.

Модальные глаголы в немецком: выражаем степень вероятности

Глаголы müssen, sollen, können, mögen еще потому объединяются в одну группу, что обозначают разную степень вероятности или уверенности в таких предложения как:

Das muss so sein. — Так и должно быть (уверен на 100%)
Das soll so sein. — Так и должно быть (уверен на 80%, так как это сказал кто-то другой)
Das kann so sein. — Может так и быть (уверен на 50-60%, не знаю точно)
Das mag so sein. — Может быть и так (уверен на 30-40%, может быть, но очень сомневаюсь)

Упражнения к теме: